Kaidah Pencacahan - Permutasi dan Kombinasi

Oktober 03, 2021 Posting Komentar

Permutasi

Permutasi adalah susunan yang berurutan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan. Permutasi merupakan pola pengambilan yang memperhatikan urutan $(dimana\,AB\neq BA)$ . Dalam mempelajari permutasi, perlu dipahami terlebih dahulu terkait faktorial. Hasil kali bilangan bulat 1 sampai n adalah n! (dibaca n faktorial), atau:

$n! = n \times (n-1) \times (n-2) ....$

sebagai contoh,

$n! = n \times (n-1) \times (n-2) ....\times 2 \times 1$

Berikut ini merupakan jenis – jenis permutasi:

Permutasi dari elemen, tiap permutasi terdiri dari elemen

Jika ada unsur yang berbeda diambil dari n unsur, maka banyaknya permutasi yang berbeda dari n unsur tersebut adalah:

$P_{n}^{n} = n!$

Sebagai contoh, seorang anak akan menata 5 gelas dengan warna berbeda di atas meja. Maka, banyaknya cara untuk menyusun gelas tersebut adalah:

$P_{5}^{5} = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\,\,cara$

Permutasi dari n elemen, tiap elemen terdiri dari r unsur dari n elemen dengan n

Untuk semua bilangan positif n dan r (dengan n), banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu adalah:

$P_{r}^{n} = \frac{n!}{(n-r)!}$

Rumus ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan pemilihan suatu jabatan kepengurusan, maupun peringkat dalam kejuaraan (dimana urutan diperhatikan).

Sebagai contoh, banyaknya cara untuk memilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara dari 7 siswa yang tersedia adalah:

Banyaknya siswa: n=7

Banyak pilihan objek (ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara): r = 4

Maka, banyaknya cara yang bisa dipilih adalah:

$P_{4}^{7} = \frac{7!}{(7-4)!}= \frac{7 \times 6\times 5\times 4\times 3!}{3!}= 840$

Permutasi dari n unsur yang mengandung p,q dan r unsur yang sama

$P_{k_{1},k_{2},k_{t}}^{n} = \frac{n!}{k_{1}!\, k_{2}!\,k_{t}!}$

dimana:

n = banyaknya elemen keseluruhan

$k_{1}$ = banyaknya elemen kelompok 1 yang sama

$k_{2}$ = banyaknya elemen kelompok 2 yang sama

…

$k_{t}$ = banyaknya elemen kelompok t yang sama

Sebagai contoh, banyaknya cara untuk menyusun kata dari kata MISSISPPI adalah:

n = banyaknya huruf

$k_{1}$ = banyaknya huruf I

$k_{2}$ = banyaknya huruf S

$k_{3}$ = banyaknya huruf P

Maka,

$P_{k_{1},k_{2},k_{t}}^{n} = P_{3,3,2}^{9} =\frac{9!}{3!\, 3!\,2!}= 5040 \,\,cara$

Permutasi Siklis

Permutasi siklis adalah permutasi melingkar (urutan melingkar).

$P_{siklis}^{n} = (n-1)!$

Sebagai contoh, 4 orang anggota keluarga akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Banyaknya cara susunan yang dapat dibuat adalah:

n = banyaknya anggota

Maka,

$P_{siklis}^n=P_{siklis}^n=(4-1)!=3!=3\times2\times1=6\,cara$

Kombinasi

Kombinasi merupakan suatu pengelompokan dari sebagian atau seluruh elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan susunan pemilihannya (AB = BA). Kombinasi dari beberapa unsur yang berbeda yaitu:

$C_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!r!}$

Sebagai contoh, kombinasi 2 elemen dari 3 huruf A, B, C adalah dan AB, AC, dan BC. Sedangkan BA, CA, dan CB tidak termasuk ke dalam hitungan karena AB = BA, AC, dan BC = CB. Banyaknya kombinasi adalah:

$C_{r}^n = C_{2}^{3} = \frac{3!}{(3-2)!2!}=\frac{3!}{1!2!}=3$

Contoh Soal

Soal 1

Raden memiliki 3 buah sepatu, 5 buah kaos kaki, dan 2 buah tali sepatu. Berapa banyak cara Raden dapat memakai sepatu, kaos kaki, dan tali sepatu?

Jawab:

Himpunan sepatu:

$s=(s_1,s_2,s_3)=3$

Himpunan kaos kaki:

$k=(k_1,k_2,k_3,k_4,k_5)=5$

Himpunan tali sepatu:

$t=(t_1,t_2)=2$

Banyaknya cara:

$a_s\times a_k\times a_t=3\times 5\times 2 = 30\,cara$

Soal 2

Terdapat buah anggur, belimbing, manga, apel, jeruk, dan salak. Masing-masing buah akan disusun berjajar. Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari buah-buahan tersebut?

Jawab:

Banyaknya buah-buahan: n = 6

Banyaknya susunan buah-buahan:

$P_n^n=P_6^6=6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720\,cara$

Soal 3

Dari 9 peserta Olimpiade Matematika Tingkat Kota, akan dipilih 3 juara, yaitu: juara 1, juara 2, dan juara 3. Ada berapa susunan berbeda yang dapat dibentuk?

Jawab:

Banyak peserta: n = 9

Banyak pilihan objek (juara 1, juara 2, juara 3): r = 3

Maka, banyaknya susunan berbeda yang dapat dibentuk :

$P_r^n=P_3^9=\frac{9!}{(9-3)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9\times8\times7}{6!6!}= 504$

Soal 5

Suatu kelompok arisan ibu-ibu memiliki 9 anggota. Apabila setiap arisan mereka duduk melingkar, ada berapa banyak posisi duduk ibu-ibu yang dapat dibentuk?

Jawaban:

n = banyaknya anggota

Maka, banyaknya posisi duduk yang dapat dibentuk adalah:

$P_{siklis}^n=P_{siklis}^9=(9-1)!=8!=40.320$

Soal 6

Sebuah pabrik tekstil akan membuat sebuah campuran warna yang terdiri dari 3 warna dasar jika tersedia 6 warna dasar yang berbeda. Berapa banyak warna campuran yang dapat dibuat?

Jawaban:

Banyak warna dasar = 6

Banyak warna yang dibutuhkan = 3

maka banyak warna campuran adalah,

$C_{3}^{6} = \frac{6!}{(6-3)!3!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot3\cdot 2\cdot 1}=20\,cara$

Soal 7

Kelompok belajar terdiri dari 6 orang akan dipisahkan menjadi 2 kelompok. Berapa banyak cara untuk membentuk kelompok itu jika:

a. kelompok pertama terdiri dari 4 orang dan kelompok kedua terdiri dari 2 orang

b. masing-masing kelompok terdiri dari 3 orang

Jawaban:

$C_{4}^{6} = \frac{6!}{(6-4)!4!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{2\cdot 1\cdot4!}=15\,cara$

$C_{3}^{6} = \frac{6!}{(6-3)!3!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot3\cdot 2\cdot 1}=20\,cara$

Belajar dan latihan merupakan kunci utama untuk mempermudah memahami pelajaran.

Suka Matematika

Kaidah Pencacahan - Permutasi dan Kombinasi

Permutasi

Permutasi dari elemen, tiap permutasi terdiri dari elemen

Permutasi dari n elemen, tiap elemen terdiri dari r unsur dari n elemen dengan n

Permutasi dari n unsur yang mengandung p,q dan r unsur yang sama

Permutasi Siklis

Kombinasi

Contoh Soal

Soal 1

Soal 2

Soal 3

Soal 5

Soal 6

Soal 7

Latihan Soal:

Posting Komentar untuk "Kaidah Pencacahan - Permutasi dan Kombinasi"