Peluang Kejadian Majemuk

Oktober 31, 2021 Posting Komentar

Peluang Kejadian Majemuk

Peluang kejadian majemuk adalah rangkaian beberapa kejadian yang dihubungkan dengan “dan” (Dilambangkan dengan ∩) serta “atau” (Dilambangkan dengan ∪), dan dirumuskan :

P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Skema pembagian kejadian majemuk

1. Kejadian Majemuk Saling Lepas

Dua kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika dua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan, atau dengan kata lain tidak saling terkait (tidak mempunyai irisan). Dirumuskan :

P(A ∩ B) = 0

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh Soal berikut ini :

1. Dua buah dadu dilantunkan serentak satu kali. Jika A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi 5 dan B adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi 4, maka tentukanlah peluang :

(a) P(A ∩ B) (b) P(A ∪ B)

Jawab

n(S) = 36

A = {14, 23, 32, 41, 55, 64, 46} , n(A) = 7
B = {13, 22, 31, 26, 35, 44, 53, 62, 66} , n(B) = 9
Karena A dan B saling lepas, maka:
(a) P(A ∩ B) = 0
(b) P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

$P(A\cup B)=\frac{7}{36}+\frac{9}{36}$

$P(A\cup B)=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$

2. Dua buah dadu dilantunkan serentak satu kali. Jika A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya 5 dan B adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang hasil kalinya 6, maka tentukanlah peluang :
(a) P(A ∩ B) (b) P(A ∪ B)

Jawab
n(S) = 6 x 6 = 36
A = {14, 41, 23, 32} , n(A) = 4
B = {16, 61, 23, 32} , n(B) = 4
A ∩ B = {23, 32} , n(A ∩ B) = 2
Karena A dan B tidak saling lepas, maka:

(a) P(A ∩ B)

$a. P(A\cap B)=\frac{2}{3}=\frac{1}{18}$

(b) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

$P(A\cup B)=\frac{4}{36}+\frac{4}{36}-\frac{2}{36}$

$P(A\cup B)=\frac{6}{36}$

$P(A\cup B)=\frac{1}{6}$

3. Sebuah dadu merah dan sebuah dadu putih dilantunkan serentak satu kali. Tentukanlah peluang munculnya angka 3 pada dadu merah atau angka 5 pada dadu putih.
Jawab
n(S) = 6 x 6 = 36
A = {31, 32, 33, 34, 35, 36} , n(A) = 6
B = {15, 25, 35, 45, 55, 65} , n(B) = 6
A ∩ B = {35} , n(A ∩ B) = 1
Karena A dan B tidak saling lepas, maka:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

$P(A\cup B)=\frac{6}{36}+\frac{6}{36}-\frac{1}{36}=\frac{11}{36}$

4. Dalam sebuah keranjang terdapat 4 buah apel merah dan 4 buah apel hijau. Jika diambil tiga buah apel secara acak dari dalam keranjang tersebut, tentukanlah peluang terpilihnya 2 apel merah dan 2 apel hijau
Jawab
Misalkan A adalah kejadian terambilnya 2 apel merah, dan B adalah kejadian terambilnya 2 apel hijau, maka A dan B saling lepas, Sehingga P(A ∩ B) = 0

5. Sebuah kantong berisi 5 bola merah dan 2 bola biru. Kantong lain berisi 3 bola merah dan 1 bola biru. Jika sebuah bola diambil secara acak dari salah satu kantong, maka tentukan pelauang terambilnya bola biru.
Jawab
P(1 biru) = P( 1 biru pada kantong pertama atau 1 biru pada kantong kedua)
P(1 biru) = P(1 biru pada kantong pertama) + P(1 biru pada kantong kedua)

$P (1\hspace{0,1cm}biru)= (\frac{1}{2})(\frac{2}{7})+(\frac{1}{2})(\frac{1}{4})$

$P (1\hspace{0,1cm}biru)= \frac{15}{56}$

2. Kejadian Saling Bebas

Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika muncul atau tidaknya kejadian A tidak mempengaruhi muncul atau tidaknya kejadian B. Dengan kata lain A dan B memiliki keterkaitan tetapi tidak saling mempengaruhi. Jika dirumuskan secara matematis, maka kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika memenuhi :

P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh Soal berikut ini :

1. Dua dadu dilantunkan serentak satu kali. Misalkan A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya 8 dan B adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang hasil kalinya 12, maka selidikilah apakah A dan B saling bebas ?

Jawab

A = {26, 62, 35, 53, 44} , n(A) = 5

B = {34, 43, 62, 26} , n(B) = 4

AB = {62, 26} , n(AB) = 2

n(S) = 36

maka

$P(A)\times P(B)=\frac{5}{36}\times \frac{4}{36}=\frac{5}{324}$

$P(A\cap B)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

2. Dua dadu berwarna merah dan putih dilantunkan serentak satu kali. Misalkan A adalah kejadian munculnya angka 4 pada dadu merah dan B adalah kejadian munculnya angka 6 pada dadu putih, maka selidikilah apakah A dan B saling bebas ?
Jawab
A = {41, 42, 43, 44, 45, 46} , n(A) = 6
B = {16, 26, 36, 46, 56, 66} , n(B) = 6
AB = {46} , n(AB) = 1
n(S) = 36

maka

$P(A)\times P(B)=\frac{6}{36}\times \frac{6}{36}=\frac{1}{36}$

$P(A\cap B)=\frac{1}{36}$

Karena P(A ∩ B) = P(A) x P(B) maka A dan B saling bebas

3. Sebuah dadu dan dua buah uang logam dilantunkan serentak satu kali. Jika A adalah kejadian munculnya dua “Angka” pada uang logam dan B adalah kejadian munculnya angka 5 pada mata dadu, maka selidikilah apakah dua kejadian tersebut saling bebas ? dan tentukanlah peluang A atau B !
Jawab
A = {AA1, AA 2, AA 3, AA 4, AA 5, AA 6} , n(A) = 6
B = {AA5, AG5, GA5, GG5} , n(B) = 4
A ∩ B = {AA5} , n(A ∩ B) = 1
n(S) = 2 x 2 x 6 = 24

maka

$P(A)\times P(B)=\frac{6}{24}\times \frac{4}{24}=\frac{1}{24}$

$P(A\cap B)=\frac{1}{24}$

Karena P(A ∩ B) = P(A) x P(B) maka A dan B saling bebas
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

$P(A\cup B)=\frac{6}{24}\times \frac{4}{24}-\frac{1}{24}$

$P(A\cup B)=\frac{3}{8}$

Kejadian Majemuk Saling bebas Bersyarat

Dua Kejadian A dan B dikatakan bebas bersyarat jika memenuhi syarat saling bebas dan terjadinya secara berturut-turut.

Dirumuskan

P(A ∩ B) = P(A) x P(B / A)

Dimana : P(B /A) dibaca Peluang kejadian B setelah A

Dari rumus ini dapat pula diturunkan rumus :

$P(B/A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{n(A\cap B)}{n(S)}}{\frac{n(A)}{n(S)}}=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}$

Jadi

$P(B/A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}$

Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh Soal berikut ini :

1. Dua buah dadu dilantunkan serentak satu kali. Jika A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang hasil kalinya 12, dan B adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya 8, tentukanlah :

(a) P(A/B) (b) P(B/A)

Jawab

A = {34, 43, 62, 26}, n(A) = 4

B = {26, 62, 53, 35, 44} , n(B) = 5

A ∩ B = {26, 62} , n(A ∩ B) = 2

Sehingga

$(a).\hspace{0,2cm}P(A/B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=\frac{2}{5}$

$(b).\hspace{0,2cm}P(B/A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

2. Dua dadu berwarna merah dan putih dilantunkan serentak satu kali. Misalkan A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang habis dibagi 3 pada dadu merah, dan B adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil pada dadu putih, maka tentukanlah
(a) P(A/B) (b) P(B/A)
Jawab
A = {12, 21, 51, 15, 42, 24, 33, 63, 36, 45, 54, 66} , n(A) = 12
B = {11, 21, 31, 41, 51, 61, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 15, 25, 35, 45, 55, 65}, n(B) = 18
A ∩ B = {21, 15, 51, 63, 45. 33} , n(A ∩ B) = 6
Sehingga

$(a)\hspace{0,2cm}P(A/B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$

$(b)\hspace{0,2cm}P(B/A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

3. Dua dadu dilantunkan serentak satu kali. Jika yang muncul adalah dua mata dadu yang jumlahnya 6, maka berapakah peluang pada salah satu dadu muncul angka 4 ?
Jawab
B = {15, 51, 42, 24, 33}, n(B) = 5
A ∩ B = {42, 24} , n(A ∩ B) = 2

Sehingga

$P(A/B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=\frac{2}{5}$

Suka Matematika

Peluang Kejadian Majemuk